Caracterização geral

Pré-requisitos

Conhecimentos de Matemática correspondentes ao ensino pré-universitário português (área de ciências).

Bibliografia

ISABEL CABRAL, CECÍLIA PERDIGÃO, CARLOS SAIAGO, Álgebra Linear, Escolar Editora, 2018 (6ª Edição).

T. S. Blyth e E. F. Robertson, Essential student algebra. Volume two: Matrices and Vector Spaces, Chapman and Hall, 1986.

T. S. Blyth e E. F. Robertson, Basic Linear Algebra (Springer undergraduate mathematics series), Springer, 1998.

S. J. Leon, Linear Algebra with Applications, 6th Edition, Prentice Hall, 2002.

J. V. Carvalho, Álgebra Linear e Geometria Analítica, texto de curso ministrado na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, Departamento de Matemática da FCT/UNL, 2000. http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/personal/jvc/alga2000.html

E. Giraldes, V. H. Fernandes e M. P. M. Smith, Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill de Portugal, 1995.

Método de ensino

Leccionação de aulas teóricas (3 horas semanais) e de aulas práticas (2 horas semanais). Existe um horário de atendimento docente onde cada aluno poderá, individualmente, esclarecer as suas dúvidas com qualquer um dos docentes da disciplina.

Método de avaliação

REGRAS DE AVALIAÇÃO

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (ALGA)

2022/23

1.    FREQUÊNCIA

Para a obtenção de aprovação à Unidade Curricular (UC) de ALGA, o estudante tem de dispor de frequência. No presente semestre, a frequência é obtida através da realização de Fichas semanais (designadas Fichas para Frequência), durante o período de aulas, disponibilizadas através da plataforma Moodle. Cada ficha estará disponível no moodle durante uma semana. A não realização de mais de três fichas, no prazo estabelecido, resultará na não obtenção de frequência à UC. 

2. AVALIAÇÃO CONTÍNUA

A avaliação contínua consiste na realização, durante o período letivo, de dois testes presenciais e/ou a distância na plataforma Moodle, sendo cada um deles cotado de 0 a 20 valores (com arredondamento a uma casa decimal).

Podem apresentar-se a qualquer teste todos os alunos que, à data do mesmo, se encontrem inscritos na Unidade Curricular de ALGA. É também obrigatório fazer no CLIP a inscrição no teste.

3. APROVAÇÃO E CLASSIFICAÇÃO FINAL

Sejam T1 e  T2 as classificações obtidas no 1º e 2º testes, respectivamente, arredondadas às décimas. 

A classificação final, CF, do aluno é obtida pelo arredondamento às unidades de (0,4 × T1  + 0,6 × T2), excepto se a CF for superior a 15, caso em que o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 15 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota. A classificação final, após a defesa de nota, não ultrapassará a classificação obtida nas provas. Na defesa de nota será levado em consideração o desempenho do  aluno durante as aulas e nas atividades desenvolvidas no moodle. A aprovação à UC ocorre sempre que CF ≥ 10. Se CF for inferior a 10 o aluno reprova.

4. EXAME

Podem apresentar-se a exame todos os alunos inscritos na UC que obtiveram frequência - ver ponto 1.

Neste caso, a nota do exame (NE) substitui a nota dos testes para a obtenção da classificação final, CF. A classificação final, CF, do aluno é obtida pelo arredondamento às unidades de NE, excepto se a CF for superior a 15, caso em que o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 15 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota. A classificação final, após a defesa de nota, não ultrapassará a classificação obtida na prova. Na defesa de nota será levado em consideração o desempenho do aluno durante as aulas e nas atividades desenvolvidas no moodle. A aprovação à UC ocorre sempre que CF ≥ 10. Se CF for inferior a 10 o aluno reprova.

5. MELHORIA DE NOTA

Todo o aluno que pretenda apresentar-se a melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição (informações na Repartição Académica). A classificação do exame de melhoria é obtida de acordo com o indicado em 4.  Se este resultado for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.

6. TESTES E EXAMES

Para que um aluno possa efectuar qualquer uma das provas (testes ou exame) terá de inscrever-se no CLIP no local e datas referidas para esse efeito. 

Os testes e exame serão, preferencialmente,  presenciais, podendo em situações excepcionais realizar-se a distância se tal for possível. Nas provas a distância serão utilizados meios de videovigilância com recurso a ferramentas de proctoring.

No dia da prova o aluno terá de:

1. Identificar-se com o Bilhete de Identidade ou o Cartão de Cidadão;

2. Entregar um “Caderno de Prova” (com o cabeçalho não preenchido) - apenas para provas presenciais.

7. DISPOSIÇÕES FINAIS

Cabe ao responsável pela UC resolver situações que não estejam previstas nestas regras, podendo recorrer à consulta de outros órgãos da FCT NOVA para aspetos em que tal se venha a justificar.

O presente regulamento foi elaborado de acordo com as normas estabelecidas no regulamento de avaliação da FCT NOVA disponível aqui.

Conteúdo

ÁLGEBRA  LINEAR  E  GEOMETRIA  ANALÍTICA 

CAPÍTULO 1 - MATRIZES

Definição de matriz, operações com matrizes e alguns resultados básicos. Matrizes em forma de escada e em forma de escada reduzida. Método de eliminação de Gauss-Jordan. Três caracterizações das matrizes invertíveis. Processo para determinação da inversa de uma matriz invertível.

CAPÍTULO 2 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Definições básicas: solução de um sistema, classificação de um sistema. Sistemas equivalentes. Representação matricial de um sistema de equações lineares. Resolução e discussão de sistemas. Outra caracterização das matrizes invertíveis.

CAPÍTULO 3 - DETERMINANTES

Definição de determinante de uma matriz. Algumas propriedades envolvendo determinantes. Teorema de Laplace. Caracterização das matrizes invertíveis através do determinante. Cálculo da inversa de uma matriz invertível a partir da sua adjunta. Regra de Cramer.

CAPÍTULO 4 - ESPAÇOS VECTORIAIS

O conceito de espaço vectorial. Algumas propriedades dos espaços vectoriais. Definição de subespaço de um espaço vectorial. Os conceitos de combinação linear e de dependência/independência linear de uma sequência de vectores. Bases e dimensão de um espaço vectorial. O Teorema do Completamento. O Teorema das Dimensões.  Utilização das matrizes para determinação de uma base e determinação da dimensão do subespaço vectorial gerado por uma sequência de vectores.

CAPÍTULO 5 - APLICAÇÕES LINEARES

Definição e propriedades das aplicações lineares.  Núcleo e Imagem de uma aplicação linear. Teorema da Dimensão. Teorema da Extensão Linear. Matriz de uma aplicação linear. Isomorfismos. Definição e resultados envolvendo matrizes de mudança de base.

CAPÍTULO 6 - VALORES E VECTORES PRÓPRIOS

Valores e vectores próprios de um endomorfismo e de uma matriz. Polinómio característico de uma matriz e multiplicidade algébrica de um valor próprio. Subespaço próprio associado a um valor próprio. Multiplicidade geométrica de um valor próprio. Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis. Duas condições necessárias e suficientes para um endomorfismo/matriz ser diagonalizável. Determinação da matriz "diagonalizante".

CAPÍTULO 7 - PRODUTO INTERNO, PRODUTO EXTERNO E PRODUTO MISTO DE VECTORES

Definição de norma de um vector e definição de ângulo formado por dois vectores. Produto interno de dois vectores de R³. Sequências ortogonais de vectores. Bases ortogonais e bases ortonormadas. Produto interno em bases ortonormadas. Aplicação do produto interno ao cálculo do ângulo definido por dois vectores. Os conceitos de base directa e de base inversa de R³. Produto externo e produto misto de vectores de R³. Interpretação geométrica da norma do produto externo de dois vectores e do módulo do produto misto.

CAPÍTULO 8 - GEOMETRIA ANALÍTICA

Representações cartesianas da recta e do plano. Posições relativas entre duas rectas, entre dois planos e entre uma recta e um plano. Problemas métricos e não métricos: distâncias e ângulos.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: