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Análise Matemática III D

Objetivos

  • Domínio dos aspectos básicos da teoria das funções de variável complexa.
     
  • Estudo das equações diferenciais ordinárias. Pretende-se que o aluno se familiarize com as várias técnicas de resolução de equações diferenciais lineares e não lineares, sendo dedicada especial atenção às equações  diferenciais lineares de ordem superior à primeira.
     
  • O aluno deve aprender o essencial sobre séries de Fourier e a sua aplicação à resolução de equações diferenciais com derivadas parciais.

Caracterização geral

Código

7544

Créditos

6.0

Professor responsável

Luís Manuel Trabucho de Campos

Horas

Semanais - 4

Totais - A disponibilizar brevemente

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Conhecimentos de Análise Matemática adquiridos nas discipolinas de Análise Matemática I e II.

Bibliografia

N.H. Asmar e L. Grafakos, Complex Analysis with Applications. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer 2018.

M. Braun. Differential Equations and their applications (4th edition). Springer-Verlag, 1993.

Método de ensino

Aulas teóricas e aulas práticas. 

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.

Método de avaliação

Método de Avaliação – Análise Matemática III-D

Em conformidade com o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa,  a disciplina de Análise Matemática III-D  tem o seguinte método de avaliação:

A avaliação da disciplina é efetuada através da realização de dois testes escritos (avaliação teórica e prática), presenciais, durante o semestre, cada um com duração de duas horas. A inscrição nos testes poderá ser obrigatória (ver clip antes dos testes).

Neste caso, se um aluno não se inscrever nos testes e se o desejar fazer, aplica-se o nº9 do Art.º5 do Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da FCT:

Podem ser exigidas inscrições obrigatórias nos testes de avaliação contínua. Nesse caso, se 10 minutos após o início efetivo do teste, o conjunto de estudantes não inscritos que, ainda assim, quer realizar o teste, tiver lugar numa sala especificamente destinada, será admitido sem direito à recuperação do tempo. Se aquele conjunto de estudantes não tiver lugar na referida sala, nenhum poderá ser admitido.

A cada teste escrito será atribuída uma classificação (t1, e t2) na escala de 0 a 20 arredondada às décimas.

 A classificação final da Avaliação "C" é calculada arredondando às unidades,  pelas convenções usuais, a expressão

C = (t1+t2)/2

O aluno é aprovado se C ≥ 10.

Os alunos que obtiverem uma classificação C ≥ 16 poderão ter de fazer uma prova oral para defesa de nota.

Se por questões de saúde o aluno não puder realizar um teste escrito presencial, deverá informar oficialmente a FCT (enviar atestado médico para a Divisão Académica e para o Coordenador do Curso), e aquele teste será substituído por uma prova oral a realizar antes da data e hora previstas para o referido teste.

Exame 

Os alunos reprovados por avaliação durante o semestre, poderão apresentar-se a exame.

O exame consiste numa prova escrita presencial, de duração de 3 horas, sobre a totalidade dos conteúdos da disciplina.

Ao exame será atribuída uma classificação inteira entre 0 e 20 valores, estando o aluno aprovado à disciplina, com essa classificação, se esta for superior ou igual a 10 valores.

Os alunos que obtiverem uma classificação maior ou igual a 16 poderão ter de fazer uma prova oral para defesa de nota.

É interdita a utilização de máquinas de calcular ou quaisquer outros instrumentos de suporte de cálculo ou de consulta em todos os momentos de avaliação.

Melhoria de Classificação

Os alunos aprovados por avaliação durante o semestre poderão requerer, mediante o cumprimento de todas as disposições impostas pela FCT-UNL, melhoria de classificação. Nesse caso, poderão efetuar o exame. A classificação final será o máximo entre as classificações obtidas durante o semestre e no exame. Os alunos que obtiverem uma classificação maior ou igual a 16 poderão ter de fazer uma prova oral para defesa de nota.

Condições para a realização das provas escritas (testes e exame)

Poderão apresentar-se a cada um dos testes e ao Exame os alunos regularmente inscritos no sistema Clip.  A inscrição deverá ser feita até pelo menos uma semana antes da realização da prova (teste ou exame). No dia da prova cada aluno deverá possuir um caderno de exame em branco que será entregue no início da prova ao docente que estiver a efectuar a vigilância. Durante a prova o aluno deverá ser portador de documento de identificação oficial com fotografia recente.

Se por circunstâncias alheias à FCT não for possível a realização dos testes ou dos exames presencialmente, excepcionalmente, estes poderão ser substituídos por testes ou exames realizados a distância.

Em tudo o que o presente Regulamento seja omisso valem os Regulamentos Gerais da FCT-UNL

 

Conteúdo

1. Funções de Variável Complexa

1. Funções de variável complexa: Aritmética dos números complexos (revisão). Definição das funções elementares. Limites e continuidade. Diferenciabilidade – funções holomorfas. Diferenciação das funções elementares. Funções harmónicas. Aplicações conformes.

2. Equações Diferenciais ordinárias (EDO)

 2.1 Equações diferenciais de primeira ordem: Campo de direções associado a uma EDO de primeira ordem; curvas integrais e soluções. Alguns resultados de existência e de unicidade de soluções: os teoremas de Picard e de Peano. Noção de solução implícita de uma equação diferencial. Equações autónomas e soluções de equilíbrio.  Equações lineares, equações de variáveis separáveis e equações de Bernoulli. Equações diferenciais exatas e noção de fator integrante. 

2.2 Equações diferenciais de segunda ordem. Equações homogéneas: polinómio característico e base do espaço vetorial solução. Generalização a equações diferenciais lineares homogéneas de ordem superior ou igual a três. O Wronskiano e independência linear de soluções. Estrutura afim do conjunto de soluções de uma EDO linear de segunda ordem. O método de d''''''''''''''''''''''''''''''''Alembert. Método da variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Noção de ressonância.

2.3 Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes: Generalidades e estrutura das soluções. Base do espaço vetorial solução; relação entre o espectro do sistema linear associado e a estabilidade das soluções.

 3. Equações com derivadas parciais (EDP) 

3. 1 Representação em séries de Fourier de funções periódicas.  Generalidades sobre funções periódicas . Modos sin(2πt/n) e cos(2πt/n); série de Fourier associada a uma função periódica suficientemente regular (formalismo real e complexo);Estudo da convergência de uma série de Fourier; pontos de descontinuidade e fenómeno de Gibbs. Representação dee uma função regular em séries de senos/cossenos num dado intervalo.

3.2 Aplicações das séries de Fourier às EDP: Generalidades sobre EDP. O método de separação de variáveis. Aplicações ao caso parabólico (equação do calor), hiperbólico (equação das ondas) e elíptico (equação de Laplace).

3.3 Exemplos de aplicação ao estudo das  equações de Navier-Stokes.