Equações Diferenciais

Caracterização geral

Pré-requisitos

Conhecimentos de Análise e Álgebra, adquiridos nas disciplinas de Análise Matemática IA, IIA e III A,  Álgebra Linear I e II.

Bibliografia

M. Braun. Differential Equations and their applications (4th edition). Springer-Verlag, 1993.

1. A. Bivar Weinholtz, Equações Diferenciais – uma introdução, Textos de Matemática, Vol. 7, Departamento de Matemática da FCUL, 2000.

2. E. Kreyszig. Advanced engineering mathematics (8th edition). John Wiley & Sons, 1999.

3. C. Póvoas, Métodos Matemáticos da Física-Uma Introdução, Textos de Matemática, Vol. 17, Departamento de Matemática da FCUL, 2002.

4. S. Ross. Differential Equations (3rd edition). John Wiley & Sons, 1984.

5. C. Fox — An Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1987.

6. H. Sagan — Introduction to the Calculus of variations, McGraw-Hill, 1969.

Método de ensino

As aulas terão um carácter teorico-prático. Além da exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação, são propostos, para resolução pelos alunos,  exercícios de aplicação dos métodos e resultados apresentados. 

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.

Método de avaliação

1. A avaliação de conhecimentos será feita através de dois testes (T1, T2) presenciais. A inscrição nos testes poderá ser obrigatória. Se por circunstâncias exteriores à FCT não for possível realizar os testes, estes seráo substituídos por um exame final presencial.

2. Os testes terão todos o mesmo peso. Cada teste será classificado de 0 a 20 valores, com aproximação às décimas.

3. Para serem aprovados, os alunos deverão obter classificação final igual ou superior a 10 valores. A classificação final (CF) é obtida arredondando às unidades o valor

V= (C1+C2)/2,

onde C1e C2 representam as classificações dos testes T1 e T2, respectivamente.

Exemplo: se V=12.4 então CF=12; se V=12.5 então CF=13.

4. Haverá uma época de recurso e, quando se aplicar, uma época especial. A classificação final será um valor inteiro de 0 a 20. O aluno será aprovado se obtiver uma classificação final igual ou superior a 10 valores.

Conteúdo

1. Equações diferenciais ordinárias (EDO)

1.1. Generalidades. Exemplos e aplicações.
1.2. Teorema de existência e unicidade de solução.
1.3. Sistemas de equações diferenciais ordinárias.


2. Equações com derivadas parciais (EDP)
Método das Carecterísticas.

2.1. Primeiros exemplos de EDP.
Condições iniciais e de fronteira. Problemas bem postos.
2.2. Equações lineares de primeira ordem.
2.3. Equações quase-lineares de primeira ordem.
2.4. Equações de segunda ordem. Classsificação.
2.5. Redução das equações de segunda ordem à forma canónica.


3. Equações com derivadas parciais (EDP)
Método de Fourier.

3.1. Separação de variáveis e princípio da sobreposição.
3.2. Séries de Fourier (revisão).
3.3. Teoria de Sturm-Liouville
3.4. Equação de propagação das ondas.
3.5. Equação de propagação do calor.
3.6. Equação de Poisson.
3.7. Existência e unicidade de solução. Princípio do Máximo.

4. Introdução ao Cálculo das Variações

4.1 Os problemas clássicos do Cálculo das Variações.
4.2 Equações de Euler-Lagrange.
4.3 Princípio de Hamilton.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: