Análise Numérica das Equações com Derivadas Parciais em Finanças
Objetivos
No final desta unidade curricular o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências em Métodos Numéricos que permitem a análise numérica de Equações com Derivadas parciais, equações parabólicas, e aplicar estes métodos a modelos em Matemática Financeira (opções Europeias e Americanas).
Caracterização geral
Código
12969
Créditos
6.0
Professor responsável
Magda Stela de Jesus Rebelo
Horas
Semanais - 4
Totais - 56
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
A disponibilizar brevemente
Bibliografia
- P.A. Raviart and J.M. Thomas, Introduction a l'' Analyse Numérique des Equations aux Derivées Partielles, Masson, Paris, 1983.
- J.M. Steele, Stochastic Calculus and Financial Applications, Applications of Mathematics: Stochastic Modelling and Applied Probability, 45, Springer, Berlin, 2004.
- E. Zauderer, Partial Equations of Applied Mathematics (second ed.), John Wiley and Sons, New York, 1989.
- M.Braun, Differential Equations and their applications (4th edition). Springer-Verlag, 1993.
- Y. Achdou, O. Pironneau, Computational Methods for Option Pricing, SIAM, Frontiers in Applied Mathematics, 2005.
- P. Wilmott, J. Dewynne, S. Howison, Option Pricing – Mathematical models and computation, Oxford Financial Press, 1995.
Método de ensino
A disponibilizar brevemente
Método de avaliação
1. Avaliação
A avaliação desta UC consiste na realização de dois testes, com a duração de 1 hora e 30 minutos cada e um trabalho final, ou através de Exame, com a duração de 3 horas.
2.1 Avaliação contínua
A avaliação durante o semestre consiste na realização de dois testes, T1 e T2, e um trabalho computacional, TC, o qual devem realizar uma apresentação oral do mesmo.
A classificação é dada por
NF=0.3×NT1+0.3×NT2+0.4xNTC,
onde NT1, NT2 e NTC designam as classificações obtidas em T1 e T2, respectivamente.
- Se NF≤9.4 valores o aluno reprova.
- Se 9.5≤NF≤20 o aluno obtém como classificação final NF arredonda às unidades.
2.2 Época de Recurso
Pode apresentar-se a exame de recurso todo o aluno ainda não aprovado na disciplina.
Se a classificação no exame, NE, for inferior a 9.4 valores o aluno reprova.
- Se a classificação no exame for igual ou superior a 9.5 valores a nota final do aluno é
NF=max{NE,0.6xNE+0.4xNTC} (arredondada às unidades).
2.3 Melhoria de nota
Todo o aluno que pretenda efectuar melhoria de nota deve inscrever-se, para esse efeito, na Repartição Académica. A classificação de exame de melhoria de nota é efectuada de modo análogo ao da Época de Recurso.
Se o resultado for superior ao já obtido na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.
Conteúdo
- Equações com Derivadas Parciais (EDPs)
1.1. Generalidades sobre EDPs.
1.2. A equação do calor: método de separação de variáveis
1.3. Séries de Fourier.
1.3.1.Aplicações das séries de Fourier às EDP: método de separação de variáveis.
1.3.2.Aplicações ao caso parabólico (equação do calor).
1.4. Transformada de Fourier:
1.4.1.Definição. Propriedades elementares da transformada de Fourier.
1.4.2.Transformada de Fourier inversa. Aplicações à resolução da equação do calor.
1.5. A equação de Black-Scholes e o problema de apreçamento de opções europeias.
2. Métodos numéricos para EDPs
2.1. Método das diferenças finitas para a equação do calor com condições de fronteira do tipo Dirichlet e para problemas de Cauchy.
2.2. Métodos das diferenças progressivas, regressivas e de Crank-Nicolson. Esquemas theta. Convergência e estabilidade.
2.3. Aplicações a modelos em Matemática Financeira: o caso das opções Europeias.
2.4. Método das diferenças finitas para problemas de obstáculo em dimensão um.
2.5. Métodos SOR com projecção.
2.6. Aplicações a modelos em Matemática Financeira: o caso das opções Americanas.