Teoria das Distribuições
Objetivos
No final desta unidade curricular, o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:
-Conhecer e utilizar fluentemente as propriedades, resultados e procedimentos elementares da teoria das distribuições;com vista à sua aplicação a equações diferenciais.
-Compreender a topologia dos espaços de distribuições e aplicá-la aos diferentes conceitos de convergência de uma sucessão de funções.
-Diferenciar distribuições e estabelecer a relação entre este tipo de diferenciação e a diferenciação no sentido clássico.
-Conhecer a noção de operador diferencial e de solução fundamental.
-Aplicar a transformada de Fourier a distribuições temperadas e conhecer as suas principais propriedades;
Caracterização geral
Código
10850
Créditos
6.0
Professor responsável
A disponibilizar brevemente
Horas
Semanais - 4
Totais - 56
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
Conhecimentos sólidos de cálculo diferencial e integral em Rn. Noções básicas de topologia e Análise Funcional. Conhecimento do Integral de Lebesgue e de resultados fundamentais de Teoria de Medida.
Bibliografia
1.F. Friedlander and M. Joshi, Introduction to the Theory of distributions;
2.A. Kolmogorov and V. Fomin, Introductory real analysis;
3.W. Rudin, Functional Analysis;
4.R. Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms;
e ainda:
5.L. Evans and M. Gariepy; Measure Theory and Fine Properties of Functions;
5.L. Schwartz, Théorie des Distributions;
6.L. Schwartz, Méthodes Mathématiques pour les Sciences Physiques.
7.Yosida, Functional Analysis.
Método de ensino
Aulas teórico práticas complementadas com horário de discussão de problemas.
Método de avaliação
1. Avaliação contínua
A classificação na avaliação contínua é uma nota entre 0 e 20 valores e resulta da classificação obtida nos dois elementos de avaliação na componente de avaliação teórico-prática, com um peso de 50% (10 valores) cada. Os dois elementos de avaliação consistem em dois testes realizados presencialmente com a duração de 2 horas.
A classificação na avaliação contínua é obtida por arredondamento às unidades da soma das classificações obtidas nos dois elementos de avaliação.
Requisitos para a realização dos testes presenciais: para realizar qualquer dos testes previstos, os alunos têm de se inscrever no Clip até uma semana antes da data da prova. Além disso, no ato da prova, os alunos devem ser portadores de um caderno de exame (em branco) e de um documento de identificação além de cumprir todas as regras gerais da faculdade, nomeadamente no que diz respeito ao distanciamento físico e porte de máscara ou outros que venham a ser implementados.
2. Exame
O exame é presencial e tem a duração de 3 horas. Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina pode apresentar-se a exame. Para realizar o exame, os alunos têm de se inscrever no Clip até uma semana antes da data da prova. Além disso, no ato da prova, os alunos devem ser portadores de um caderno de exame (em branco) e de um documento de identificação além de cumprir todas as regras gerais da faculdade, nomeadamente no que diz respeito ao distanciamento físico e porte de máscara ou outros que venham a ser implementados.
3. Exame de melhoria de nota
Todo o aluno que pretenda obter melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição. Além disso, o aluno deve apresentar-se a exame, seguindo os requisitos indicados no ponto 2 acima. O resultado é obtido conforme o artigo 8º do regulamento de avaliação de conhecimentos da FCT NOVA.
Conteúdo
1. Pequeno Apontamento Histórico.
Diferenciação de funções não regulares.
2. Preliminares.
Espaços de Fréchet; Espaços Ck e C^{\infty}; Limites indutivos topológicos e o espaço das funções teste.
3. Espaço das distribuições.
Formas lineares contínuas; Funções localmente integráveis.
4. Convergência de sucessões de distribuições;Topologia fraca e fraca *; Caracterizaçãoda convergência de distribuições e
propriedades fundamentais.
5. Diferenciação no espaço das distribuições.
Operadores diferenciais: noção de solução fundamental; convolução de Distribuições;Produto de convolução; Propriedades
gerais do produto de convolução de distribuições.
6. O espaço das distribuições temperadas.
Funções regulares de decrescência rápida e passagem ao dual; Os espaços Lp enquanto distribuições temperadas;
Transformada de Fourier de uma distribuição temperada e propriedades.
7. Aplicação: Espaços de Sobolev.