Análise Funcional

Objetivos

No final desta unidade curricular, o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:

-Conhecer e utilizar fluentemente as propriedades, resultados e procedimentos elementares da análise funcional linear em espaços de Banach;

-Saber aplicar os teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado, de Banach-Steinhaus e de Hahn-Banach.

Caracterização geral

Código

11697

Créditos

9.0

Professor responsável

Oleksiy Karlovych

Horas

Semanais - 4

Totais - A disponibilizar brevemente

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

A disponibilizar brevemente

Bibliografia

B. Rynne, M. Youngson, Análise Funcional Linear, IST Press, 2011.

B. Rynne, M. Youngson, Linear Functional Analysis, 2nd ed., Springer, 2007.

H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces, and Partial Differential Equations. Springer, 2010.

W. Rudin, Functional Analysis. MacGraw-Hill, 2nd edition, 1991.

G.F. Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill, 1963.

Método de ensino

A disponibilizar brevemente

Método de avaliação

Frequência:

É atribuída frequência aos alunos que entreguem a resolução de todas as listas de exercícios designadas, exceto possivelmente uma. Estão dispensados de frequência os alunos que tenham um estatuto especial previsto na lei.

Avaliação Contínua:

Semanalmente será designada uma lista de exercícios aos alunos, cuja resolução devem entregar na semana seguinte. A cada exercício será atribuída uma nota, NEx, entre 0 e 1 valores. Uma lista de exercícios não entregue corresponde a um zero. Para os alunos que obtiveram frequência ou que estão dispensados desta, a nota final será a média aritmética das notas NEx.

Época de recurso:

Podem apresentar-se à época de recurso todos os alunos regularmente inscritos que tenham frequência ou estejam dispensados de frequência e que não tenham obtido aprovação na avaliação contínua. Esta é composta por um exame de três horas.

Os alunos que tenham obtido aprovação na cadeira podem efetuar melhoria de nota, mediante inscrição na divisão académica da FCT nos prazos fixados, na época de recurso.

Conteúdo

  1.   Espaços normados: Exemplos de espaços normados. Espaços normados de dimensão finita. Espaços de Banach. Espaços separáveis. Separabilidade dos espaços C[a,b] e de Lp[a,b].
  2.  Espaços de Hilbert: Produtos internos. Desigualdade de Bessel e igualdade de Parseval. Ortogonalidade. Complementos ortogonais. Bases ortonormais em dimensão infinita. Espaços de de Hilbert separáveis. Séries de Fourier.
  3. Operadores lineares: A norma de um operador linear limitado. O espaço dos operadores lineares limitados. Teorema de Baire. Teorema da aplicação aberta e do gráfico fechado. Inversos de operadores. Teorema do isomorfismo de Banach. Princípio da limitação uniforme.Teorema de Banach-Steinhaus.
  4. Dualidade e o teorema de Hahn-Banach: O espaço dual. Funcionais sublineares e seminormas. Teorema de Hahn-Banach em espaços normados. Teorema de Hahn-Banach geral. O espaço bidual Espaços reflexivos e operadores duais. Projeções e subespaços complementares. Convergência fraca e fraca-*.

 

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: