Tópicos de Matrizes
Objetivos
Pretende-se que o aluno adquira conhecimentos que não são, em geral, objecto de estudo de um curso de 1º ciclo de Álgebra Linear, com ênfase à abordagem de um ponto de vista matricial, e que têm importância não só na sua formação nesta área como também pelas suas aplicações noutras áreas (nomeadamente em Estatística, Computação, Análise Numérica e Optimização).
Caracterização geral
Código
12946
Créditos
6.0
Professor responsável
Carlos Manuel Saiago
Horas
Semanais - 4
Totais - 56
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
Conhecimentos correspondentes ao conteúdo de um primeiro curso de Álgebra Linear.
Bibliografia
1. R.A. Horn, C.R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985 (2nd edition, 2013).
2. C.D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000.
3. F. Zhang, Matrix Theory - Basic Results and Techniques, Springer, 1999.
4. D.C. Lay, S.R. Lay, J.J. McDonald. Linear Algebra and Its Applications. Pearson Education, 5th edition, 2016.
5. R. Bhatia. Positive Definite Matrices. Princeton University Press, 2007.
Método de ensino
Aulas teórico-práticas em que é efectuada a exposição da matéria, com demonstração de resultados, e são propostos exercícios para resolução.
Método de avaliação
REGRAS DE AVALIAÇÃO
TÓPICOS DE MATRIZES
2022/23
1. AVALIAÇÃO CONTÍNUA
A avaliação contínua consiste na realização, durante o semestre, de 2 testes (presenciais) sendo cada um deles cotado de 0 a 20 valores.
Podem apresentar-se a qualquer teste todos os alunos que à data do mesmo tenham presença em pelo menos 2/3 das aulas lecionadas até à data do teste.
Sejam T1 e T2 as classificações obtidas no 1º e 2º testes, respectivamente. Um aluno só poderá ficar aprovado na disciplina por avaliação contínua se
0.5×T1 + 0.5×T2 ≥ 9.5 .
Neste caso a classificação final será dada por esta média arredondada às unidades, excepto se esta média for superior ou igual a 18.5 , caso em que o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 18 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.
2. EXAME
Podem apresentar-se a exame (o exame é presencial) todos os alunos inscritos na Unidade Curricular, excepto os alunos que não tenham obtido frequência.
Se a classificação for inferior, ou igual, a 9.4 o aluno reprova. Se a classificação for superior, ou igual, a 9.5 e inferior, ou igual, a 18.4 , o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades. Se a classificação for superior, ou igual, a 18.5 o aluno poderá optar entre ficar com a classificação final de 18 ou realizar uma prova complementar para defesa de nota.
3. MELHORIA DE NOTA
Todo o aluno que pretenda apresentar-se a melhoria de nota deve inscrever-se, para esse efeito, no CLIP (informações na Divisão Académica). A classificação do exame de melhoria é obtida de acordo com o indicado em 2. Se este resultado for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.
Conteúdo
0. Revisão de algumas noções básicas de Álgebra Linear
0.1 Matrizes
Transformações elementares sobre as linhas/colunas de uma matriz. Matrizes elementares e equivalência de matrizes. Forma de escada e forma de escada reduzida. Característica de uma matriz.
0.2 Determinantes
Definição de determinante e teorema de Laplace. Outras propriedades do determinante.
Transformações elementares e determinantes.
0.3 Espaços Vectoriais
Espaços e subespaços vectoriais. Alguns subespaços fundamentais associados a uma matriz. Independência linear. Bases e dimensão. Mais sobre a característica de uma matriz.
1. Matrizes particionadas em blocos
1.1 Algumas definições e operações com matrizes particionadas em blocos
1.2 Alguns resultados envolvendo matrizes triangulares por blocos
1.3 Transformações/matrizes elementares por blocos
1.4 Característica do produto e da soma de matrizes
1.5 Teorema de Laplace generalizado e algumas consequências
1.6 Transformações elementares por blocos e determinantes
2. Valores próprios, vectores próprios e diagonalização
2.1 Valores e vectores próprios: definição e propriedades
2.2 Algumas propriedades do polinómio característico
2.3 Teorema de Cayley-Hamilton e algumas consequências
2.4 Polinómio mínimo
2.5 Matrizes companheiras de polinómios
2.6 Semelhança e diagonalização
2.7 Diagonalização simultânea
3. Semelhança unitária e triangularização
3.1 Produto interno usual em IR^n e em IC^n
3.2 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
3.3 Matrizes unitárias e matrizes ortogonais: definição e caracterizações
3.4 Triangularização de Schur e algumas consequências
3.5 Triangularização simultânea
4. Matrizes normais
4.1 Propriedades das matrizes normais
4.2 Propriedades das matrizes hermíticas/hemi-hermíticas e das matrizes simétricas /hemi-simétricas
4.3 Propriedades das matrizes definidas positivas e das matrizes definidas não negativas
4.4 Raiz de índice k de uma matriz definida positiva/não negativa
5. Algumas factorizações/decomposições
5.1 Factorização de característica completa
5.2 Decomposição em valores singulares
6. Inversas generalizadas
6.1 A inversa de Moore-Penrose