Topologia e Elementos de Variedades
Objetivos
Os estudantes devem:
a) Entender e saber demonstrar os resultados fundamentais sobre espaços topológicos, funções contínuas, compacidade, conexidade, axiomas de separação/numerabilidade e topologia quociente. O lema de Urysohn e o Teorema da Extensão de Tietze serão abordados.
b) Perceber a noção de variedade sem bordo. Saber orientar variedades, calcular espaços tangentes a variedades. Entender a noção de campo vetorial, forma diferencial e produto tensorial.
Caracterização geral
Código
12951
Créditos
6.0
Professor responsável
João Pedro Bizarro Cabral
Horas
Semanais - 4
Totais - 56
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
Álgebra linear, cálculo diferencial e integral a várias variáveis, topologia em espaços métricos.
Bibliografia
James R. Munkres: Topology. Prentice Hall (2000)
Armstrong, Mark Anthony: Basic topology. Corrected reprint of the 1979 original. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.
Andrew Mclnerney: Firsts steps in Differential Geometry. Springer, 2013.
Vladimir A. Zorich: Mathematical Analysis II – second edition. Springer, 2016
Método de ensino
A unidade curricular funcionará com 4 horas semanais de aulas teórico-práticas. Haverá esclarecimento de dúvidas em sala de aula. A aprendizagem autónoma dos alunos centrar-se-á na resolução de séries avançadas de exercícios, alguns contendo provas de resultados fundamentais.
Os alunos deverão entregar semanalmente séries de exercícios, propostas pelo docente. Cada aluno fará pelo menos uma apresentação oral de cerca de 1 hora (por exemplo com uma demonstração completa de um teorema, explicação de uma secção de um livro ou artigo). No final do semestre far-se-á a média aritmética simples das notas das séries de exercícios e das apresentações.
Um aluno obtém frequência se tiver entregue todas as séries de exercícios propostas, exceto possivelmente uma.
Método de avaliação
Os alunos deverão entregar semanalmente séries de exercícios, propostas pelo docente. Cada aluno fará pelo menos uma apresentação oral de cerca de 1 hora (por exemplo com uma demonstração completa de um teorema, explicação de uma secção de um livro ou artigo). No final do semestre far-se-á a média aritmética simples das notas das séries de exercícios e das apresentações.
Um aluno obtém frequência se tiver entregado todas as séries de exercícios propostas, exceto possivelmente uma.
Conteúdo
Os tópicos a abordar dependerão do background dos alunos. Devem ser tidos em conta os objectivos mínimos.
1)Espaços topológicos. Base e sub-base. Produtos de espaços topológicos. Topologia subespaço. Conjuntos fechados e pontos de acumulação. Funções contínuas. Homeomorfismos.
2)Conexidade. Conexidade por arcos. Componentes.
3)Compacidade. Números de Lebesgue. Compacidade em espaços métricos. Compacidade local. Compactificação por um ponto.
4)Axiomas de numerabilidade. Axiomas de separação. Lema de Urysohn. Teorema da extensão de Tietze.
5) Variedades sem bordo. Funções entre variedades. Orientação de variedades. Partições da unidade. Imersão de variedades compactas em .
6) Espaço tangente a uma variedade, noção geométrica e noção analítica. Diferencial. Campos vetoriais. Curvas integrais. Fluxos de campos vetoriais.
7) Formas diferenciais. Produto exterior. Lema de Poincaré. Produto tensorial