Equações Diferenciais Estocásticas
Objetivos
Objectivos e competências
-Gerais:
Sendo uma disciplina opcional do Mestrado em Matemática e Aplicações, esta disciplina pretende fundamentar o conhecimento dos alunos na área da evolução dos fenómenos estocásticos descritos por processos de difusão.
-Principais objectivos relativos ao conhecimento:
Conhecimento do cálculo de Itô. Conhecimento do teorema clássico de existência e unicidade de solução para uma equação diferencial estocástica. Conhecimento da propriedade de Markov para a solução de uma equação diferencial estocástica. Conhecimento da relação existente entre equações diferenciais estocásticas e certas equações determinísticas com derivadas parciais.
-Principais competências:
Dominar o cálculo de Itô. Saber resolver equações diferenciais estocásticas lineares. Saber estudar problemas de existência e unicidade para equações diferenciais estocásticas. Saber utilizar a propriedade de Markov para manipular relações entre equações diferencias estocásticas e equações com derivadas parciais.
Caracterização geral
Código
8540
Créditos
6.0
Professor responsável
Maria Fernanda de Almeida Cipriano Salvador Marques
Horas
Semanais - 4
Totais - 56
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
Conhecimentos de teoria da medida e da integração à Lebesgue. Conhecimentos de equações diferenciais ordinárias.
Bibliografia
1 -- Hui.Hsiung Kuo: Introduction to Stochastic Integration. Springer. 2006
2 -- Bernt Oksendal: Stochastic Differential Equations. Sringer. 1998
3 -- Paul Malliavin: Integration and Probability. Springer-Verlag. 1995
Método de ensino
O ensino consiste na lecionação de aulas teórico-práticas, onde é apresentada e explicada toda a matéria referida nos conteúdos programáticos.
Método de avaliação
A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso.
1- Avaliação Continua
A Avaliação Contínua é realizada através de Resoluções de Exercícios, um Teste a realizar na Época 1 e um Trabalho. As Resoluções de Exercícios tem a classificação de 20 valores, o Teste tem a classificação de 20 valores e o Trabalho tem a classificação de 20 valores.
A classificação da Avaliação Contínua obtém-se fazendo a média aritmética das 3 classificações obtidas.
Se a classificação da Avaliação Contínua for superior, ou igual, a 9,5 o aluno fica aprovado com essa classificação arredondada às unidades.
2 - Exame de Recurso
Podem apresentar-se a Exame de Recurso todos os alunos inscritos na disciplina (e ainda não aprovados) .
A classificação final será igual a 1/3(classificação obtida na Resolução dos Exercícios) + 2/3 (classificação do Exame de Recurso).
Se a classificação final for superior, ou igual, a 9,5 o aluno fica aprovado com essa classificação arredondada às unidades.
Se a classificação final for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno reprova.
Conteúdo
1-Movimento Browniano- Integral de Wiener- Esperança condicionada- Martingalas
2-Integral Estocástico
3-Formula de Itô
4- Applicações da fórmula de Itô- Transformação de medidas de probabilidade-Teorema de Girsanov
5- Equações diferenciais estocásticas- Teoremas de existência e unicidade- Propriedade de Markov -Processos de difusão- Semigrupos e equações de Kolmogorov
6-Equações diferenciais estocásticas lineares- Aplicações às Finanças- Fórmula de Feynman-Kac