Análise Matemática II B

Caracterização geral

Pré-requisitos

Cálculo diferencial e integral em R. Rudimentos de cálculo matricial.

Bibliografia

Qualquer livro de análise a várias variáveis. Alguns exemplos:

Calculus; Anton, Bivens e Davis, Wiley (8th edition)

Cálculo, vol 2; Tom M. Apostol, Ed. Reverté.

Curso de Análise, vol 2; Elon L. Lima, Ed IMPA (projecto Euclides)

Calculus III, Jerrold Marsden e Alen Weinstein, Springer.

Método de ensino

As aulas teórico-práticas consistem em apresentação da matéria, junto com exemplos ilustrativos.

As aulas práticas consistem resolução e análise de problemas e exercícios. Vai ser exigido que os alunos preparem previamente exercícios que vão ser apresentados no quadro para a turma, com a posterior discussão em grupo. Estes exercícios são escolhidos numa lista fornecida pelos docentes.

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor. 

Método de avaliação

A Avaliação Contínua da unidade curricular é composta por:

Avaliação Teórico-Prática: dois testes escritos, cada um com duração de 1h30 minutos, a realizar durante o semestre. Cada teste será classificado entre 0 e 8 valores.

Avaliação Sumativa: entrega de exercícios resolvidos. Em cada aula vão ser indicados dois exercícios para entregar a resolução na aula seguinte. De entre todos os alunos que entregarem a resolução, vão ser escolhidos dois para apresentar a sua resolução no quadro. A nota final desta componente, entre 0 e 4 valores, vai ser atribuída pelo professor com base na qualidade e na quantidade de resoluções entregues. Nesta componente de avaliação, mais do que uma resolução correta, vai ser valorizado o trabalho do aluno.

Frequência: a frequência é obtida mediante a entrega de exercícios resolvidos em mais de 5 aulas. Os alunos com estatuto de trabalhador-estudante e os alunos que obtiveram frequência na anterior edição da unidade curricular estão dispensados da sua obtenção. Apenas os alunos com frequência terão classificação final na unidade curricular. 

Um aluno que cumpra o critério de frequência terá uma classificação final por Avaliação Contínua igual a T1 + T2 + AS, arredondada às unidades. Onde T1 e T2 são as notas finais do primeiro e segundo teste, respectivamente e AS é a nota de Avaliação Sumativa. O aluno obterá aprovação na unidade curricular, por Avaliação Contínua, se esta classificação for igual ou superior a 10 valores.

Exame de Recurso: Os alunos que não tenham obtido aprovação por Avaliação Contínua e que tenham obtido Frequência à unidade curricular, podem apresentar-se a um Exame de Recurso, a realizar na época de recurso. Este exame consiste numa prova escrita, com duração de 3 horas, que avalia a totalidade dos conteúdos leccionados na unidade curricular. A prova está dividida em duas partes, cada uma delas classificada de 0 a 8 valores, cuja matéria avaliada corresponde, respectivamente, ao primeiro e segundo teste. A nota final será T1 + T2 + AS, arredondada às unidades, onde T1 e T2 são as notas finais da primeira e segunda parte. Obtém aprovação se esta for superior ou igual a 10 valores. 

Melhoria de Classificação: Os alunos aprovados na unidade curricular podem requerer, mediante o cumprimento de todas as disposições impostas pela NOVA FCT, Melhoria de Classificação realizando o Exame de Recurso. A nota final vai ser  T1 + T2 + AS.

No dia da prova os alunos devem apresentar-se munidos de um caderno de prova em branco, material de escrita e documento de identificação oficial. Todos os testes e exames devem ser realizados sem consulta e sem utilização de qualquer material informático de cálculo.

Qualquer aluno, trabalhador-estudante, que já tenha Frequência de uma edição anterior, ou outro aluno que por alguma razão não possa frequentar as aulas práticas, pode pedir ao professor para ser avaliado sem a componente de Avaliação Sumativa. Nesse caso as suas notas finais de Avaliação Contínua ou recurso serão calculadas de acordo com a fórmula (T1 + T2)5/4. Nesta situação a frequência é dada de forma automática. Atenção: este pedido tem de ser feito até ao final da segunda semana de aulas, caso contrário o aluno será avaliado obrigatoriamente com a componente de Avaliação Contínua.

Em qualquer situação omissa, aplica-se o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da NOVA FCT de 31 de Julho de 2020.

Conteúdo

Revisão de alguns conceitos de geometria analítica. Cónicas. Quádricas.

Noções topológicas em Rⁿ. Funções vetoriais de uma variável real e funções de várias variáveis reais. Domínios, gráficos, curvas e superfícies de nível. Limite e continuidade de funções de várias variáveis reais.

Derivadas parciais e teorema de Schwarz. Derivada segundo um vetor. Matriz Jacobiana. Vetor gradiente. Noção de diferenciabilidade. Diferenciabilidade da função composta. Fórmula de Taylor.

Teorema de função implícita e Teorema da função inversa. Extremos relativos e absolutos. Extremos condicionados e multiplicadores de Lagrange.

Integrais duplos e triplos. Integrais iterados e teorema de Fubini. Mudança de variável em integrais. Integrais duplos cm Coordenadas Polares. Integrais Triplos em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas. Aplicações.

Campos vetoriais. Gradiente,  divergência e rotacional. Campos fechados. Campos conservativos. Aplicações.

Integrais de linha de campos escalares e de campos vetoriais. Teorema fundamental para integrais de linha. Teorema de Green. Aplicações.

Integrais de superfície de campos escalares. Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. Teorema de Stokes e Teorema de Gauss. Aplicações.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: