Análise Matemática I

Caracterização geral

Pré-requisitos

O aluno deve dominar os conhecimentos matemáticos ministrados até à conclusão do ensino secundário.

Bibliografia

Bibliografia Recomendada

1. Ana Alves de Sá e Bento Louro, Cálculo Diferencial e Integral em R
2. Jaime Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982
3. Carlos Sarrico, Análise Matemática, Leituras e Exercícios, Gradiva, 1997
4. Robert G. Bartle e Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, John Wiley & Sons Inc., 1999
5. Rod Haggarty, Fundamentals of Mathematical Analysis, Prentice Hall, 1993

Método de ensino

As aulas teóricas consistem na exposição da matéria, que é ilustrada com exemplos de aplicação.

As aulas práticas consistem na resolução de alguns exercícios de aplicação dos métodos e resultados leccionados nas aulas teóricas, bem como no apoio aos exercícios resolvidos pelos estudantes em trabalho autónomo.

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas, nas sessões semanais destinadas ao atendimento aos alunos ou ainda em sessões combinadas directamente entre aluno e professor.

Método de avaliação

Frequência

É concedida frequência a qualquer estudante que assista a pelo menos 2/3 das aulas leccionadas no turno prático em que se encontra inscrito. As ausências são contabilizadas a partir do primeiro dia de aulas e não do primeiro dia em que o estudante se inscreve no turno prático.

Os alunos com estatuto de trabalhador-estudante e, de acordo com o ponto 4 do artigo 6º do Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, os alunos que obtiveram frequência no segundo semestre do ano lectivo 2022/23 estão dispensados da sua obtenção. Contudo, recomenda-se que os alunos dispensados da obtenção de frequência frequentem as aulas com a mesma assiduidade que os alunos não dispensados da sua obtenção.

Apenas os alunos com frequência terão classificação final na unidade curricular.

Inscrição em Provas Presenciais (Testes, Repetição de Testes, Exame)

Com o objectivo de racionalizar os recursos da FCT NOVA (instalações, pessoal docente e pessoal não docente), apenas se podem apresentar a qualquer prova presencial os alunos devidamente inscritos para o efeito através da página CLIP da unidade curricular. Devem ainda apresentar-se munidos de um caderno de prova em branco, material de escrita e documento de identificação oficial, com fotografia recente.

Qualquer prova da unidade curricular deve ser realizada pelo próprio aluno, sem qualquer consulta de materiais e sem utilização de qualquer material informático de cálculo.

Avaliação Contínua

A avaliação contínua da unidade curricular é efectuada com recurso a Avaliação Teórico-Prática. A avaliação Teórico-Prática contempla dois testes presenciais, cada um com a duração de 1h30 minutos.

Sejam T1 e T2 as classificações de cada um dos dois testes expressa numa escala de 0 a 20, todos os valores arredondados às décimas. Um aluno terá a classificação final  0.5 T1 + 0.5 T2, arredondada às unidades. O aluno obterá aprovação na unidade curricular se esta classificação for superior ou igual a 10 valores. Caso contrário, o aluno terá reprovado à unidade curricular por avaliação contínua.

Época de Recurso

Os alunos reprovados por avaliação contínua podem apresentar-se a uma prova complementar, a realizar na data da época de recurso com duração de 3 horas e englobando toda a matéria leccionada, expressa numa escala de 0 a 20 valores, arrendondadas às décimas. O aluno obterá aprovação na unidade curricular se esta classificação for superior ou igual a 10 valores. Caso contrário, o aluno terá reprovado à unidade curricular.

Defesa de Nota

Todos os alunos com uma classificação final superior ou igual a 18 valores (por avaliação contínua ou na época de recurso) podem, caso o desejem, apresentar-se a uma prova de defesa de nota. A não realização desta prova implica uma classificação final de 17 valores à unidade curricular.

Melhoria de Classificação

Os alunos aprovados na unidade curricular podem requerer Melhoria de Classificação, de acordo com o procedimento descrito no Artigo 22º do Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, de 17 de Novembro de 2020. Se tiverem obtido aprovação à unidade curricular no presente semestre ou no ano lectivo anterior o aluno poderá realizar uma prova para melhoria de nota na época de recurso. A duração é de 3 horas e o matéria avaliada corresponde a toda a matéria leccionada. A nota final será igual ao máximo entre a nota obtida anteriormente e a nota obtida na melhoria, numa escala de 0-20 arredondada às unidades.

Todos os alunos com uma classificação provisória superior ou igual a 18 valores podem, caso o desejem, apresentar-se a uma prova de defesa de nota. A não realização desta prova implica uma classificação provisória de 17 valores à unidade curricular.

Conteúdo

1. Topologia - Indução Matemática - Sucessões

Topologia elementar da recta real. Relação de ordem na recta real.

Princípio de indução matemática.

Generalidades sobre sucessões. Noção de convergência de uma sucessão e propriedades do cálculo de limites. Subsucessões. Teorema de Bolzano-Weierstrass.

2. Limites e Continuidade 

Generalidades sobre funções reais de variável real. Definição de limite segundo Cauchy e Heine. Propriedades de cálculo.  

Continuidade de uma função num ponto. Propriedades das funções contínuas. Teorema do valor intermédio. Continuidade e bijecções recíprocas. Teorema de Weierstrass. 

3. Diferenciabilidade

Generalidades. Teoremas fundamentais: Rolle, Lagrange e Cauchy. Cálculo prático de limites. Teorema de Taylor e aplicações.

4. Primitivação

Introdução. Primitivação por partes. Primitivação por substituição. Primitivação de funções racionais.

5. Integração de Riemann

Introdução. Teoremas fundamentais. Integração por partes e integração por substituição. Aplicações diversas. 

Integrais impróprios.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: