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Análise Complexa

Objetivos

No final do semestre, o aluno deverá:

1) Dominar os conceitos de função de variável complexa e os exemplos fundamentais, condições de derivabilidade de uma função de variável complexa  (condições de Cauchy Riemann) , aplicação conforme.

2) Dominar os conceitos de integração de caminho de funções de variável complexa e os teoremas fundamentais da integração:Teorema de Cauchy; Fórmula integral de Cauchy; Teorema de Morera, Desigualdade de Cauchy, Teorema de Liouville, Teorema Fundamental da Álgebra, Teorema do Máximo do Módulo.

3) Dominar os conceitos de séries de potência de variável complexa, nomeadamente as séries de Taylor e as séries de Laurent. Proceder ao estudo de singularidades isoladas e respectiva classificação.

4) Dominar a noção de  resíduos e compreender a sua importância no cálculo de integrais ao longo de caminhos fechados ( Teorema dos resíduos). Efectuar cálculo de resíduos recorrendo a fórmulas estabelecidas. 

Caracterização geral

Código

7813

Créditos

6.0

Professor responsável

José Maria Nunes de Almeida Gonçalves Gomes

Horas

Semanais - 4

Totais - 52

Idioma de ensino

Português

Pré-requisitos

Conhecimentos sólidos de Análise Matemática 1 e Análise Matemática 2.  

Bibliografia

Texto de Apoio da disciplina.

Basic Complex Analysis; J. Marsden and M. Hoffman; W.H. Freeman and company. (1996)

Complex Analysis; L. Ahlfors; McGraw-Hill International Editions. (1979)

Analyse Complexe; Eric Amar et Étienne Matheron; Cassini. (2004 - 2 edition 2020)

Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables; Henri Cartan (1904 - 1995 edition). 

Método de ensino

Aulas Teórico Práticas complementadas com horários de apoio individualizado semanais.

Método de avaliação

Avaliação contínua: Três testes de uma hora, uniformemente distribuídos no semestre, com notas T1,T2 e T3.

A note final de Avaliação Contínua (AC) é determinada por 3/10T1+3/10T2+4/10T3. O aluno é aprovado se AC maior ou igual a 9,5.

 

 

 

Avaliação por exame: Exame final de 3h com nota NE. O aluno é aprovado se NE fôr superior ou igual a 9,5. 

Conteúdo

1. Funções de variável complexa: Aritmética dos números complexos (revisão). Funções de variável complexa elementares. Limites e continuidade. Derivação de funções de variável complexa – funções analíticas, aplicações conformes. Derivação das funções elementares. Propriedades da derivação. Funções harmónicas. Séries de potências.

2. Integração de funções de variável complexa – teorema de Cauchy: Integração de funções de variável complexa. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Teoremas fundamentais: teorema de Morera, desigualdades de Cauchy, Teorema de Liouville, Teorema Fundamental da Álgebra, Teorema do Máximo do Módulo.

3. Séries de Laurent: Convergência pontual e uniforme de sucessões e séries de funções. Séries de potências. Teorema de Taylor; analiticidade. Singularidades – séries de Laurent. Singularidades isoladas; classificação de singularidades isoladas.

4. Resíduos: Métodos de cálculo de resíduos. Teorema dos resíduos. Aplicação ao cálculo de integrais (reais e complexos).

5. Aplicação Conforme. Exemplos e Aplicações.