Análise Real I

Caracterização geral

Pré-requisitos

A disponibilizar brevemente

Bibliografia

J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982.

M. Figueira, Fundamentos de Análise Infinitesimal, Textos de matemática, Dep. de matemática da FCUL, 1996.

K. Ross, Elementary Analysis The Theory of Calculus, Second Edition, Springer, 2013.

E. Lages Lima, Curso de Análise vol. 1, 14ª ed., IMPA, 2012. M. Spivak, Calculus, 3rd edition, Publish or Perish Inc., 2006.

Método de ensino

As aulas são teóricas/práticas com exposição oral dos conceitos e resultados que são acompanhados das respetivas demonstrações. É sugerida uma lista de exercícios para serem trabalhados autonomamente que inclui problemas com um cariz teórico. Eventuais dúvidas poderão ser esclarecidas no decurso das aulas ou em sessões individuais marcadas com os professores. A avaliação contínua é baseada em dois testes. Se um aluno não obtiver aprovação através de avaliação contínua poderá vir a obtê la num exame de recurso.

Método de avaliação

1. Avaliação contínua

A classificação na avaliação contínua é uma nota entre 0 e 20 valores e resulta da classificação obtida na componente de avaliação teórico-prática. Esta é constituída por dois testes realizados presencialmente em datas a definir. Cada teste tem um peso de 50% para a nota final.

Cada teste tem a duração de 2 horas. Para realizar qualquer dos testes previstos, os alunos têm de se inscrever no Clip até uma semana antes da data da prova. Além disso, no ato da prova, os alunos devem ser portadores de um caderno de exame (em branco) e de um documento de identificação além de cumprir todas as regras gerais da faculdade.

2. Exame de Recurso

O Exame de Recurso, realiza-se presencialemente e constitui oportunidade de avaliação supletiva à componente teórico-prática, para os estudantes que não tenham sido aprovados em avaliação contínua. O exame tem a duração de 3 horas. Para realizar o exame, os alunos têm de se inscrever no Clip até uma semana antes da data da prova. Além disso, no ato da prova, os alunos devem ser portadores de um caderno de exame (em branco) e de um documento de identificação além de cumprir todas as regras gerais da faculdade.

3. Exame de melhoria de nota

Todo o aluno aprovado por avaliação contínua pode apresentar-se a exame, durante a Época de Recurso, para tentar melhorar a classificação obtida por avaliação contínua na componente teórico-prática. Para esse efeito, o estudante tem de cumprir as formalidades legais de inscrição.

Conteúdo

1. Axioma do supremo e densidade dos racionais e dos irracionais. Noções Topológicas. 2. Sucessões de números reais: definição de limite e revisão de resultados relativos à convergência de sucessões. Subsucessões, limite superior e inferior, teorema de Bolzano Weierstrass. Sucessões de Cauchy. 3. Séries numéricas: séries de termos não negativos, séries alternadas, convergência absoluta. 4. Funções de variável real: definição de limite segundo Cauchy e segundo Heine, teorema da função inversa, teorema de Weierstrass, teorema do ponto fixo de Picard, continuidade uniforme e teorema de Cantor. 5. Sucessões de funções: convergência pontual e convergência uniforme, resultados relativos ao limite de funções contínuas, ao limite de integrais de sucessões de funções (observando a construção rigorosa do integral de Riemann) e ao limite das derivadas de sucessões de funções. 6. Séries de funções: convergência pontual e uniforme, séries de potências, funções analíticas e séries de Taylor.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: