Álgebra I

Caracterização geral

Pré-requisitos

I. Semirupos e Grupos

1. Generalidades. 
2. Subgrupos. 
3. Grupos cíclicos.
4. Classes laterais. Índice de um subgrupo.
5. Relações de congruência. Grupos quociente. Subgrupos normais. 
6. Morfismos. 
7. Decomposição canónica e Teorema do Homomorfismo. 
8. Teoremas do Isomorfismo. 
9. Grupo Simétrico.

10. Teorema de Sylow. 

11. Teorema de Cayley

12. Teorema de Schur

II. Anéis e corpos

1. Generalidades. 
2. Divisores de zero. Domínios de integridade. Anéis de divisão. 
3. Característica de um anel.
4. Subanéis. 
5. Relações de congruência. Anéis quociente. Ideais. 
6. Morfismos. 
7. Decomposição canónica e Teorema do Homomorfismo. 
8. Teoremas do Isomorfismo.

Bibliografia

M. Artin, Algebra. New Jersey, Prentice Hall, 1991.

P. J. Cameron, Notes on algebraic structures, https://cameroncounts.files.wordpress.com/2013/11/algstr.pdf

J. Durbin, Modern Algebra, John Wiley & Sons, Inc.

N. Jacobson, Basic Algebra I, W. H. Freeman and Company.

S. Lang, Algebra, Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

A. J. Monteiro e I. T. Matos,  Álgebra, um primeiro curso, Escolar Editora.

M. Sobral,  Álgebra, Universidade Aberta.

J. Rotman, An introduction to the theory of groups, Springer, 1991.

D. Dummite & R. Foote, Abstract algebra, John Wiley & Sons, 2004.

J. M. Howie, Fundamentals of semigroup theory, London Mathematical Society, 1996.

GAP tutorial. https://www.gap-system.org/Manuals/doc/tut/chap0.html

Método de ensino

Aulas teórico-práticas (4h00).

Método de avaliação

1. Avaliação contínua

Realizam-se dois testes durante o semestre.

a) Podem apresentar-se a qualquer dos testes todos os alunos inscritos na disciplina que, no momento da sua realização.

b) A classificação dos testes obtém-se fazendo a média aritmética das classificações, não arredondadas, obtidas nos dois testes.  

 2. Exame

a) Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina pode apresentar-se a exame.

b)  Se a classificação, arredondada às unidades, for inferior a 10, o aluno reprova. 
 Se a classificação, arredondada às unidades, for superior, ou igual, a 10 o aluno fica aprovado com essa classificação. 

 3. Melhoria de nota

a) Todo o aluno que pretenda obter melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição.

b) Para obter melhoria de nota, é necessário que o aluno se apresente a exame ou realize os dois testes previstos na avaliação contínua.

Conteúdo

I. Semirupos e Grupos

1. Generalidades. 
2. Subgrupos. 
3. Grupos cíclicos.
4. Classes laterais. Índice de um subgrupo.
5. Relações de congruência. Grupos quociente. Subgrupos normais. 
6. Morfismos. 
7. Decomposição canónica e Teorema do Homomorfismo. 
8. Teoremas do Isomorfismo. 
9. Grupo Simétrico.

10. Teorema de Sylow. 

11. Teorema de Cayley

12. Teorema de Schur

II. Anéis e corpos

1. Generalidades. 
2. Divisores de zero. Domínios de integridade. Anéis de divisão. 
3. Característica de um anel.
4. Subanéis. 
5. Relações de congruência. Anéis quociente. Ideais. 
6. Morfismos. 
7. Decomposição canónica e Teorema do Homomorfismo. 
8. Teoremas do Isomorfismo.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: