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Álgebra Computacional

Objetivos

No final desta unidade curricular o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências em computação simbólica e demonstração automática de teoremas. Pretende-se que seja possível aos alunos: compreender os principais algoritmos da álgebra computacional; conhecer alguns algoritmos dos demonstradores automáticos de teoremas; conhecer algumas ferramentas para a matemática experimental e seu uso na modelagem e descoberta de resultados matemáticos.

Caracterização geral

Código

12914

Créditos

9.0

Professor responsável

António José Mesquita da Cunha Machado Malheiro

Horas

Semanais - 4

Totais - 42

Idioma de ensino

Inglês

Pré-requisitos

Conhecimentos de álgebra.

Bibliografia

  • J. M. Howie, Fundamentals of semigroup theory, London Mathematical Society, 1996.
  • J. Dixon and B. Mortimer, Permutation groups, Springer, 1996.
  • O. Ganyushkin and V. Mazorchuk, Classical Finite Transformation Semigroups, Springer, 2009.
  • GAP tutorial. https://www.gap-system.org/Manuals/doc/tut/chap0.html 
  • http://proverx.com/login.php

Método de ensino

As aulas são teóricas/práticas participadas, com exposição oral dos conceitos e metodologias devidamente complementada com exemplos e resoluções de problemas bem como sessões hands on. Eventuais dúvidas poderão ser esclarecidas no decurso das aulas ou em sessões individuais marcadas com os professores.
A avaliação contínua é baseada em dois testes. Se um aluno não obtiver aprovação através de avaliação contínua poderá vir a obtê-la num exame de recurso.

Método de avaliação

1. AVALIAÇÃO CONTÍNUA

A avaliação contínua consiste na realização, durante o período letivo, de dois testes presenciais e/ou a distância na plataforma Moodle, sendo cada um deles cotado de 0 a 20 valores (com arredondamento a uma casa decimal).

Podem apresentar-se a qualquer teste todos os alunos que, à data do mesmo, se encontrem inscritos na Unidade Curricular. 

2. APROVAÇÃO E CLASSIFICAÇÃO FINAL

Sejam T1 e  T2 as classificações obtidas no 1º e 2º testes, respectivamente, arredondadas às décimas. 

A classificação final, CF, do aluno é obtida pelo arredondamento às unidades de (0,5 × T1  + 0,5 × T2). A aprovação à UC ocorre sempre que CF ≥ 10. Se CF for inferior a 10 o aluno reprova.

3. EXAME

Podem apresentar-se a exame todos os alunos inscritos na UC.

A nota do exame (NE) substitui a nota dos testes para a obtenção da classificação final, CF. A classificação final, CF, do aluno é obtida pelo arredondamento às unidades de NE. A aprovação à UC ocorre sempre que CF ≥ 10. Se CF for inferior a 10 o aluno reprova.

4. MELHORIA DE NOTA

Todo o aluno que pretenda apresentar-se a melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição (informações na Repartição Académica). A classificação do exame de melhoria é obtida de acordo com o indicado em 4.  Se este resultado for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.

Conteúdo

1. Generalidades sobre semigrupos, relações de Green e a estrutura das classes-D e o Teorema de Rees. Semigrupos de transformações e grupos de permutações.
2. Tratamento de grupos de permutações, semigrupos de transformações, matrizes e espaços vetoriais por programação em computação simbólica.
3. O Teorema de Birkhoff para variedades de semigrupos.
4. Demonstração automática de teoremas: “The given clause algorithm”, ordenação de termos, exploração de conjeturas (provas e contra-exemplos) em variedades de semigrupos, grupos, anéis e quase-grupos. “Proof sketches”.
5. Explorar artigos recentes de álgebra tentando provar novos teoremas (recíprocos, generalizações, análogos em outras variedades, etc.).