Medida, Integração e Probabilidades

Caracterização geral

Pré-requisitos

A disponibilizar brevemente

Bibliografia

M. Capinski, E. Kopp, Measure, Integration and Probability. Springer- Verlag

G. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, John Wiley & Sons, Second Edition, 1999

J. Lamperti, Probability: A survey of the Mathematical Theory, John Wiley & Sons, Second Edition, 1996

Método de ensino

As aulas teóricas, consistem na discussão e desenvolvimento dos conceitos introduzidos no texto de trabalho previamente fornecido para leitura autónoma. Os resultados obtidos são na generalidade todos demonstrados. É proposta uma lista de exercícios que deve ser trabalhada em autonomia e discutida nas aulas práticas.

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas e nas sessões destinadas a atendimento.

Método de avaliação

1 - Frequência    

É atribuída frequência aos alunos que comparecerem a pelo menos dois terços das aulas lecionadas ou estejam dispensados. Os alunos com estatuto especial estão dispensados de frequência.

 Avaliação de conhecimentos.

Só os alunos que tenham frequência ou estejam dispensados de frequência  é que podem obter aprovação na  disciplina.

A avaliação de conhecimentos é realizada através de Avaliação Contínua ou Exame de Recurso.

2. Avaliação contínua

Ao longo do semestre serão realizados dois testes. Cada teste tem classificação até um máximo de 20 valores.

 1º Teste: podem apresentar-se ao 1º teste todos os alunos inscritos na disciplina.

  2º Teste: podem apresentar-se ao 2º teste todos os alunos inscritos na disciplina que tenham obtido frequência ou estejam dispensados desta.

A classificação da Avaliação Contínua obtém-se fazendo a média aritmética das classificações obtidas nos 2 testes.

Se a classificação da Avaliação Contínua for superior, ou igual, a 9,5 o aluno fica aprovado com essa classificação arredondada às unidades. 

Se a classificação da Avaliação Contínua for inferior a 9,5 o aluno poderá apresentar-se a Exame de Recurso.

3. Exame

 Todo o aluno ainda não aprovado na disciplina e que tenha frequência ou esteja dispensado de frequência  pode apresentar-se a exame. 

4. Exame de melhoria de nota

Todo o aluno que pretenda obter melhoria de nota deve cumprir, para esse efeito, as formalidades legais de inscrição. 

Conteúdo

1-      Medida

 Medida exterior. Conjuntos mensuráveis à Lebesgue e medida de Lebesgue. Conjuntos de Borel. Sigma-álgebras.

 Probabilidade: Espaço de probabilidade. Acontecimentos, condicionamento e  independência.

2-      Funções mensuráveis

Funções mensuráveis à Lebesgue.

Probabilidade: Variáveis aleatórias. Sigma-álgebras geradas por variáveis aleatórias. Distribuição de probabilidade. Independência de variáveis aleatórias.

3-      Integral

Definição de integral. Teorema da convergência monótona. Funções integráveis. Teorema da convergência dominada.

Probabilidade: Integração em relação a distribuições de probabilidade. Medidas absolutamente contínuas. Esperança de uma variável aleatória. Função característica.

4-      Espaço das funções integráveis

Espaço L^1. Espaço L^2. Espaços com produto interno. Ortogonalidade e projeção. Espaço L^p. Espaços completos.

Probabilidade: Momentos. Independência. Esperança condicional como projecção ortogonal.

5-      Medidas produto

Medida de Lebesgue multidimensional. Sigma-álgebras produto. Construção da medida produto. Teorema de Fubini.

Probabilidade: Distribuição conjunta. Independência. Probabilidade condicionada.

6-      Teorema de Radon-Nykodim

Densidades e condicionamento. Medida de Lebesgue Stieltjes. Funções de variação limitada. Medidas com sinal.

Probabilidade: Esperança condicional relativa a uma sigma-álgebra.

7-      Teoremas limite

Convergência em probabilidade. Lei fraca dos grandes números. Lemas de Borel-Cantelli. Lei forte dos grandes números. Convergência fraca. Teorema do limite central.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: