Modelos Lineares em Estatística

Caracterização geral

Pré-requisitos

São requisitos para um bom desempenho e apreensão da matéria constante desta Disciplina:

• um bom domínio das matérias relacionadas com as Disciplinas de Probabilidades e Estatística I e II; 
• um relativamente bom domínio de Álgebra matricial;
• uma predisposição por parte dos alunos para o relacionamento das matérias apresentadas com outras previamente leccionadas no decurso da Licenciatura, nomeadamente as relacionadas com a estimação e inferência.

Bibliografia

Bibliografia:

Coelho, C. A. (1998). Análise de Regressão.

Draper, N. R. e Smith, H. (1998). Applied Regression Analysis. 3.a ed., Wiley-Interscience, J. Wiley & Sons, New York. [Cap.s1-9, 11-15, 17, 20, 21]

Weisberg, S. (1985). Applied Linear Regression. 2.a ed., J. Wiley & Sons, New York.

Scheffé, H. (1959). The Analysis of Variance. J. Wiley & Sons.  

Myers, R. H. (1986). Classical and Modern Regression with Applications. Duxbury Press, Boston.

Sen, A. e Srivastava, M. (1990). Regression Analysis - Theory, Methods and Applications, Springer, New York.

Seber, G. A. F. (1977). Linear Regression Analysis. J. Wiley & Sons, New York. [Cap.s 3-8, 12]

Montgomery, D. C. e Peck, E. A. (1982). Introduction to Linear Regression Analysis. J. Wiley & Sons, New York. [Cap.s1-9]

Dagnelie, P. (1981). Principes d’Experimentation, Les Presses Agronomiques de Gembloux, Gembloux, Bélgica. [Cap.s1-12]

Montgomery, D. (2012). Design and Analysis of Experiments John Wiley & Sons

Método de ensino

As aulas são teóricas/práticas participadas, com exposição oral dos conceitos e metodologias devidamente complementada com exemplos e resoluções de problemas. Eventuais dúvidas poderão ser esclarecidas no decurso das aulas ou em sessões individuais marcadas com os professores. Os alunos necessitam de assistir a um mínimo de 2/3 das aulas teóricas/práticas lecionadas para se submeterem à avaliação.

Método de avaliação

A avaliação será feita em 2 momentos:

Prova Individual (50% da nota) -T1

Prova individual (50% da nota) -T2

Conteúdo

1. Breve revisão de alguns testes fundamentais e sua implementação através de um software adequado
• Testes paramétricos para o valor esperado e variância de variáveis aleatórias com distribuição normal
• Testes de ajustamento para distribuições discretas e contínuas: teste do qui-quadrado, teste de Kolmogorov-Smirnov, teste de Shapiro-Wilk
• Testes não-paramétricos: teste dos sinais, teste de Wilcoxon-Mann-Whitney
2. O Modelo Linear
• Formulações do Modelo Linear. O valor esperado condicional como forma de modelação de variáveis aleatórias. Modelos Lineares, Lineares Generalizados e Não-lineares.
• As asserções associadas ao Modelo Linear. Homocedasticidade. Distribuição do erro.
• Variáveis explicativas contínuas e categóricas. Os modelos de Regressão Linear, Análise de Variância e Análise de Covariância.
• O espaço gerado pelas variáveis explicativas. Projecções neste espaço e em subespaços seus. Modelos e Submodelos.
3. A Regressão Linear
• Estimação no Modelo de Regressão Linear. Estimação dos parâmetros e funções lineares de parâmetros. O Método dos mínimos quadrados. Breve referência à equivalência entre os métodos dos Mínimos Quadrados e da Máxima Verosimilhança.
• Distribuições dos estimadores dos parâmetros. Intervalos de confiança.
• Estimação da variância do erro.
• Inferência no Modelo de Regressão Linear.
• A tabela de análise do modelo e o teste ao ajustamento do modelo. Somas de Quadrados associadas ao Modelo, ao Erro e ao Total e respectivos graus de liberdade. A independência entre as Somas de Quadrados relativas ao Modelo e ao Erro. Fraccionamento da Soma de Quadrados do Modelo.
• Testes aos parâmetros. O teste a um só parâmetro. O teste a uma combinação linear de parâmetros. Testes condicionais.
• Testes a conjuntos de parâmetros. Teste entre Modelos e Submodelos (testes entre modelos encaixados). O teste F parcial.
• Análise dos resíduos e um teste para outliers. Diagnóstico de ’pontos influentes’.
• Transformações das variáveis: i) transformações para linearizar a relação da variável resposta com a(s) variável(eis) regressora(s) ou predictora(s); ii) transformações da variável resposta para estabilizar a variância.
• Abordagem matricial do Modelo Linear e da Regressão Linear: representação do modelo, expressões matriciais para o vector dos estimadores dos parâmetros, variâncias e covariâncias dos estimadores dos parâmetros, resíduos e ’valores estimados’ da variável resposta; derivação de Intervalos de Confiança (e testes) para o valor esperado de um ’valor estimado’ da variável resposta; expressão das Somas de Quadrados em termos matriciais; determinação do número de graus de liberdade associados a cada Soma de Quadrados (definidos como sendo a caracteríıstica das matrizes que definem as respectivas formas quadráticas). Derivação da expressão da banda de confiança de Working-Hotelling; Comparações múltiplas e intervalos de confiança simultâneos. A banda de confiança de Working-Hotelling e o método de Scheffé.
• Análise de alguns problemas que podem surgir na construção de um modelo de Regressão Linear Múltipla, como a colinearidade entre variáveis predictoras.
• Utilização de modelos de Regressão Linear Múltipla na análise e testes entre Modelos de Regressão Linear Simples e Regressão Linear Múltipla.
• O teste de ’lack-of-fit’. O teste de ’lack-of-fit’ como teste entre modelos encaixados.
• Métodos expeditos de procura de um submodelo ajustado aos dados: os métodos Backward, Forward e Stepwise.
4. A Análise de Variância
• Realização do teste à igualdade da média de duas populações Normais supostas com igual variância, com base em duas amostras independentes, através da utilização de um Modelo de Regressão Linear. Generalização a várias populações. O Modelo de Análise da Variância a um factor, com efeitos fixos, totalmente casualizado. Vantagens da abordagem destes modelos via Modelo Linear em relação à abordagem clássica. Comparações múltiplas de médias. Testes e Intervalos de Confiança para combinações lineares de parâmetros ou de médias populacionais. Método dos contrastes de Scheffé.
• O Modelo de Regressão correspondente ao delineamento factorial com dois, três ou mais factores de efeitos fixos.
• Realização do teste à igualdade da média de duas populações, com base em duas amostras emparelhadas, através da utilização de um Modelo de Regressão Linear. Generalização a várias populações. O Modelo de Análise da Variância em blocos casualizados, com um factor com efeitos fixos.

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: