Teoria das Distribuições
Objetivos
O aluno deverá conhecer o conceito de distribuição e as suas aplicações no contexto da física matemática. O aluno deverá compreender com profundidade as distribuições como extensão da noção de medida de Radon e reconhecer no desenvolvimento da Teoria das Distribuições as etapas fundamentais no desenvolvimento da Teoria da Medida.
Caracterização geral
Código
10850
Créditos
6.0
Professor responsável
José Maria Nunes de Almeida Gonçalves Gomes
Horas
Semanais - 4
Totais - 42
Idioma de ensino
Inglês
Pré-requisitos
Sendo o programa da disciplina auto-contido, assume-se a priori conhecimentos sólidos em Análise e Álgebra, a nível de licenciatura, que permitam o devido enquadramento teórico dos resultados estudados.
Bibliografia
Geometric Measure Theory, H. Federer, Springer Verlag ,1996.
Geometric Measure Theory and fine properties of functions, C. Evans and R Gariepy, CRC Press, Studies in Advanced Mathematics, 1992.
Théorie des Distributions, L. Schwartz, Hermann Ed, 1997.
Método de ensino
Aulas teóricas complementadas por sessões de resolução de problemas e discussão de tópicos da matéria.
Método de avaliação
Avaliação contínua baseada na monitorização da aprendizagem dos alunos (50%: intervenções em sala, resolução de problemas, apresentação de tópicos da matéria) e teste final (50%).
Conteúdo
Parte 1: Teoria Geométrica da Medida
1-Noção de medida geométrica. Mensurabilidade, famíla de conjuntos de Borel. Propriedades e teoremas de aproximação. Critério de Caratheodory. Medidas de Radon em Rn.
2- Integração. Função mensurável. Propriedades.Teoremas de Lusin e Egoroff. Integral. Teoremas de Convergência Monótona e Dominada. Produto de medidas e teorema de Fubini.
3-Derivação de medidas de Radon. Teoremas de recobrimento (Vitali e Besicovitch). Teorema de Radon Nykodym. Decomposição de Lebesgue. Teorema de Representação de Riesz.
Parte 2: Teoria das Distribuições.
1- Distribuições. O espaço D. Definição de distribuição e propriedades básicas. Exemplos.
2-Derivação de distribuições. Exemplos importantes: a distribuição Delta de Dirac, a distribuição valor principal, o operador Laplaciano distribucional. Multiplicação de uma distribuição por uma função regular.
3- Teoria das distribuições. Convergência de distribuições. Produto tensorial e produto de convolução de distribuições. Teoremas de aproximação no espaço das distribuições. Transformadas de Laplace e de Fourier de uma distribuição.