Grupos e Representações
Objetivos
No final desta UC, o aluno deve:
-conhecer a Teoria das Representações (TR) de Grupos finitos sobre o corpo C, especialmente as representações do grupo simétrico
-dominar técnicas que serão usadas nas provas dos principais resultados da TR
-conhecer as relações de ortogonalidade de caracteres, saber como obter os caracteres a partir de construções de grupos para deduzir novos caracteres
-ser capaz de utilizar os resultados sobre Teoria de Caracteres (TC) para construir tabelas de caracteres; de reconhecer a importância Teorema p^a q^b de Burnside na obtenção de resultados intrínsecos à Teoria de Grupos a partir da TC
-conhecer as representações irredutíveis do grupo simétrico, nomeadamente a construção das representações para os seus caracteres
-conhecer a Combinatória Algébrica resultante do estudo dos objetos combinatórios no contexto da TR de grupos simétricos
-ter capacidades de compreensão, análise crítica e síntese de conhecimentos teóricos; e ainda de pesquisa e comunicação escrita
Caracterização geral
Código
11588
Créditos
6.0
Professor responsável
António José Mesquita da Cunha Machado Malheiro
Horas
Semanais - 4
Totais - 52
Idioma de ensino
Inglês
Pré-requisitos
Bons conhecimentos de álgebra.
Bibliografia
W. Fulton. Young Tableaux: With Applications to Representation Theory and Geometry (London Mathematical Society Student Texts). Cambridge: Cambridge University Press, 1996, pp. x+260.
G. James e M. Liebeck. Representations and Characters of Groups. Cambridge University Press, 2001, pp. xviii+321 pp.
W. Fulton e J. Harris. Representation Theory: A First Course. Graduate texts in mathematics. Vol. 129. New York, NY: Springer, 1991..
B. Sagan. The Symmetric Group: Representations, Combinatorial Algorithms, and Symmetric Functions. Springer-Verlag New York, 2001, pp. xvi+240 pp.
J. P. Serre. Linear Representations of Finite Groups. Graduate texts in mathematics. Vol. 42. New York, NY: Springer-Verlag, 1977.
Método de ensino
Nas aulas teórico-práticas é lecionada a matéria definida no programa, que é ilustrada com exemplos. São
disponibilizadas, atempadamente, folhas de exercícios. Estes destinam-se a serem resolvidos pelos alunos
quer nas aulas quer como trabalho fora de aula. Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas, nas sessões semanais destinadas ao atendimento dos estudantes ou ainda em sessões combinadas diretamente entre aluno e professor.
Método de avaliação
A avaliação desta UC terá dois parâmetros:
1. Avaliação da resolução dos exercı́cios propostos periodicamente pelo docente. O professor, aquando da correção dos exercı́cios, efetuará comentários que permitirão que o aluno aperfeiçoe a sua resolução. Este parâmetro corresponderá a 50% da avaliação final;
2. Realização de um exame escrito que corresponderá a 50% da avaliação final.
Conteúdo
Representações de grupos finitos
a) Álgebras, módulos, representações de grupos e homomorfismos de representações;
b) Redutibilidade e o Teorema de Maschke;
c) Lema de Schur e algumas das suas aplicações: representação de grupos finitos abelianos; diagonalização;
d) O espaço dos homomorfismos-G.
II Teoria de caracteres
a) Caracteres, funções classe e exemplos;
b) Produto interno, relações de ortogonalidade e decomposição de módulos-G;
c) Caracteres e construções de grupos: subgrupos normais; produto tensorial;
d) Caracteres restritos, caracteres induzidos e o Teorema da reciprocidade de Frobenius.
III O Teorema p^a q^b de Burnside
a) Números e inteiros algébricos;
b) O Teorema p^a q^b de Burnside.
IV Representações de grupos simétricos
a) Partições e quadros de Young;
b) Polinómios e funções simétricas;
c) A ação do grupo simétrico em quadros de Young;
d) Módulos Specht e simetrizadores de Young;
e) O anel das representações e as funções simétricas.