Análise Funcional
Objetivos
No final desta unidade curricular, o estudante terá adquirido conhecimentos, aptidões e competências que lhe permitam:
-Conhecer e utilizar fluentemente as propriedades, resultados e procedimentos elementares da análise funcional linear em espaços de Banach;
-Saber aplicar os teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado, de Banach-Steinhaus e de Hahn-Banach.
Caracterização geral
Código
11697
Créditos
9.0
Professor responsável
Philippe Laurent Didier
Horas
Semanais - 4
Totais - 48
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
nihil quam vacuitas ordinatum est
Bibliografia
B. Rynne, M. Youngson, Análise Funcional Linear, IST Press, 2011.
B. Rynne, M. Youngson, Linear Functional Analysis, 2nd ed., Springer, 2007.
H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces, and Partial Differential Equations. Springer, 2010.
W. Rudin, Functional Analysis. MacGraw-Hill, 2nd edition, 1991.
G.F. Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill, 1963.
Método de ensino
nihil quam vacuitas ordinatum est
Método de avaliação
Avaliação por Projetos de Estudo.
Os estudantes devem escolher um Projeto a partir de uma lista de livros ou de artigos de investigação abordando várias tématicas (Classificação das álgebras de von Neumann, Teorema de Grothendieck, Teoremas Ergódicos, Teorema de Böchner, Álgebras de Banach).
Um relatório escrito deve ser entregado e apresentado oralmente.
Conteúdo
- Espaços normados: Exemplos de espaços normados. Espaços normados de dimensão finita. Espaços de Banach. Espaços separáveis. Separabilidade dos espaços C[a,b] e de Lp[a,b].
- Espaços de Hilbert: Produtos internos. Desigualdade de Bessel e igualdade de Parseval. Ortogonalidade. Complementos ortogonais. Bases ortonormais em dimensão infinita. Espaços de de Hilbert separáveis. Séries de Fourier.
- Operadores lineares: A norma de um operador linear limitado. O espaço dos operadores lineares limitados. Teorema de Baire. Teorema da aplicação aberta e do gráfico fechado. Inversos de operadores. Teorema do isomorfismo de Banach. Princípio da limitação uniforme.Teorema de Banach-Steinhaus.
- Dualidade e o teorema de Hahn-Banach: O espaço dual. Funcionais sublineares e seminormas. Teorema de Hahn-Banach em espaços normados. Teorema de Hahn-Banach geral. O espaço bidual Espaços reflexivos e operadores duais. Projeções e subespaços complementares. Convergência fraca e fraca-*.