Análise Matemática III D

Caracterização geral

Pré-requisitos

Conhecimentos de Álgebra Linear e de Análise Matemática (adquiridos nas discipolinas de Análise Matemática I e II).

Bibliografia

Texto de Apoio da Disciplina em português (disponível na plataforma CLIP).

Análise Complexa:

Basic Complex Analysis, J. Marsden and M. Hoffman, Freeman ed., 1987

Complex Analysis, L. Alfhors, McGraw-Hill int. ed., 1979.

Equações Diferenciais  Ordinárias e às Derivadas Parciais: 

M. Braun. Differential Equations and their applications (4th edition). Springer-Verlag, 1993.

Elementary Differential Equations, with boundary value problems, C.H. Edwards and David E. Penney, Prentice Hall.

Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, ed. IMPA, projecto Euclides, 1977.

Método de ensino

Aulas teórico-práticas (TP) e aulas práticas  (P). 

A aula teórico prática decorre na alternância de exposição teórica do conteúdo com realização de exercícios que visam a aplicação imediata dos conteúdos leccionados.

As aulas práticas são dedicadas à resolução pelos alunos, monitorizada pelo professor, de exercícios e problemas que figuram no texto de apoio.

Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas ou nas sessões destinadas a atendimento de alunos. Excepcionalmene, poderão ser realizadas aulas de revisão para preparar teste ou exame.

Método de avaliação

Método de Avaliação – Análise Matemática III D

Em conformidade com o Regulamento de Avaliação de Conhecimentos da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa,  a disciplina de Análise Matemática III-D  tem o seguinte método de avaliação:

 

Avaliação Contínua:

A avaliação contínua da disciplina é efetuada através da realização de dois testes escritos, presenciais, durante o semestre, cada um com duração de 2h 00 min e cotação de 20 valores, com notas T1 e T2 respectivamente.

O aluno é aprovado se (T1+T2)/2 for superior ou igual a 9.5.

 

Avaliação por Exame:

A avaliação por exame consiste na realização de uma prova de 3h, com cotação de 20 valores, equivalente do ponto de vista do conteúdo aos dois testes do modelo de avaliação contínua. O aluno é aprovado se a nota N do exame for superior ou igual a 9.5.

 

 

IMPORTANTE:

1) A inscrição dos alunos nos testes é obrigatória sendo realizada via CLIP.

2) O Responsável da discilpina, ao abrigo do regulamento da FCT, reserva-se o direito de solicitar individualmente uma avaliação suplementar se considerar necessários a adução de  elementos complementares ao processo avaliativo. 

Conteúdo

1. Funções de Variável Complexa

1. Funções de variável complexa: Aritmética dos números complexos (revisão). Definição das funções elementares. Limites e continuidade. Diferenciabilidade – funções holomorfas. Diferenciação das funções elementares. Funções harmónicas. Aplicações conformes.

2. Equações Diferenciais ordinárias (EDO)

 2.1 Equações diferenciais de primeira ordem: Campo de direções associado a uma EDO de primeira ordem; curvas integrais e soluções. Alguns resultados de existência e de unicidade de soluções: os teoremas de Picard e de Peano. Noção de solução implícita de uma equação diferencial. Equações autónomas e soluções de equilíbrio.  Equações lineares, equações de variáveis separáveis e equações de Bernoulli. Equações diferenciais exatas e noção de fator integrante. 

2.2 Equações diferenciais de segunda ordem. Equações homogéneas: polinómio característico e base do espaço vetorial solução. Generalização a equações diferenciais lineares homogéneas de ordem superior ou igual a três. O Wronskiano e independência linear de soluções. Estrutura afim do conjunto de soluções de uma EDO linear de segunda ordem. O método de d''''Alembert. Método da variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Noção de ressonância.

2.3 Sistemas de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes: Generalidades e estrutura das soluções. Base do espaço vetorial solução; relação entre o espectro do sistema linear associado e a estabilidade das soluções.

 3. Equações com derivadas parciais (EDP) 

3. 1 Representação em séries de Fourier de funções periódicas.  Generalidades sobre funções periódicas . Modos sin(2πt/n) e cos(2πt/n); série de Fourier associada a uma função periódica suficientemente regular (formalismo real e complexo);Estudo da convergência de uma série de Fourier; pontos de descontinuidade e fenómeno de Gibbs. Representação dee uma função regular em séries de senos/cossenos num dado intervalo.

3.2 Aplicações das séries de Fourier às EDP: Generalidades sobre EDP. O método de separação de variáveis. Aplicações ao caso parabólico (equação do calor), hiperbólico (equação das ondas) e elíptico (equação de Laplace).

3.3 Exemplos de aplicação ao estudo das  equações de Navier-Stokes. 

 

Cursos

Cursos onde a unidade curricular é leccionada: