Elementos de Análise e Álgebra I
Objetivos
O estudante deve adquirir conhecimentos básicos de cálculo diferencial e integral, para funções de uma variável real, e de Álgebra Linear e Geometria Analítica em |R2 e |R3 (ver Programa) assim como desenvolver raciocínio lógico e espírito crítico.
Caracterização geral
Código
10707
Créditos
6.0
Professor responsável
Manuel Messias Rocha de Jesus
Horas
Semanais - 5
Totais - 70
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
O estudante deve possuir os conhecimentos matemáticos de nível secundário em Portugal (área científica).
Bibliografia
[1] Cabral, I. & Perdigão, C. & Saiago, C., Álgebra Linear, Escolar Editora, 2008.
[2] Blyth, T. S. & Robertson, E. F. - Basic Linear Algebra, Springer Verlag, 1998.
[3] Anton, H. & Rorres, C. - Elementary Linear Algebra, Applications version, 9th Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2005.
[4] Sá, A. & Louro, B. – Análise Matemática, Teoria e Exercícios. (Departamento de Matemática da F.C.T-U.N.L.)
[5] Sá, A. & Louro, B. – Sucessões e Séries, Teoria e Prática. Escolar Editora, 2008.
Método de ensino
As aulas teóricas consistem na exposição dos conteúdos programáticos, ilustrados com exemplos. As aulas práticas consistem na resolução de exercícios de aplicação desses conteúdos.
Quaisquer dúvidas são esclarecidas no decorrer das aulas, nas horas semanais de atendimento aos estudantes, ou ainda em sessões extra combinadas directamente entre aluno e professor.
O estudante pode realizar a disciplina por avaliação contínua, através de dois testes intercalares, ou por exame final.
Método de avaliação
1. FREQUÊNCIA
Todo o aluno inscrito na Unidade Curricular (incluindo os alunos repetentes que não obtiveram frequência no ano letivo 2023/2024) que não tenha, no CLIP, o estatuto de trabalhador-estudante e que tenha faltado a mais de 1/3 (um terço) das aulas práticas lecionadas, não obtém frequência e, consequentemente, reprova à Unidade Curricular.
Para que um aluno possa efetuar qualquer um dos testes terá de inscrever-se no CLIP no local e datas referidas para esse efeito. No dia da prova o aluno terá de trazer consigo:
a) Documento de Identificação;
b) Caderno de prova (com o cabeçalho não preenchido).
2. AVALIAÇÃO CONTÍNUA
A avaliação contínua consiste na realização, durante o semestre, de 2 testes teórico-práticos, em regime presencial, com a duração de 90 minutos cada, na modalidade de prova escrita, sendo cada um deles cotado de 0 a 20 valores.
Sejam T1 e T2 as classificações obtidas no 1º e 2º testes, respetivamente. Um aluno só poderá ficar aprovado na disciplina por avaliação contínua se
0,5×T1 + 0,5×T2 ≥ 9,5.
Neste caso a classificação final será dada por esta média arredondada às unidades.
3. EXAME
Podem apresentar-se a exame todos os alunos inscritos na Unidade Curricular, exceto os alunos que não tenham obtido frequência.
O exame teórico-prático consiste na realização de uma prova escrita, em regime presencial, com a duração de 3 horas, sendo cotado de 0 a 20 valores.
Se a classificação for inferior, ou igual, a 9,4 o aluno reprova. Se a classificação for superior, ou igual, a 9,5 o aluno fica aprovado com essa classificação, arredondada às unidades.
4. MELHORIA DE NOTA
Todo o aluno que pretenda apresentar-se a melhoria de nota deve inscrever-se, para esse efeito no CLIP (informações na Repartição Académica). A classificação do exame de melhoria é obtida de acordo com o indicado em 3. Se este resultado for superior ao já obtido anteriormente na disciplina, será tomado como nota final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.
Nota: na realização de qualquer uma das provas (testes ou exame) não é permito o uso de calculadora ou qualquer tipo de consulta.
Conteúdo
Primeira Parte - Álgebra Linear
1 - Sistemas de equações lineares
1.1 Matrizes. Exemplos. Operações com matrizes (transposição, soma, multiplicação escalar, produto) - definição e propriedades. Matrizes invertíveis.
1.2 Sistemas de equações lineares. Matriz simples e matriz ampliada de um sistema. Operações elementares sobre matrizes. Matriz escalonada por linhas e matriz escalonada por linhas reduzida (matriz de Hermite). Característica de uma matriz. Resolução e discussão de sistemas.
1.3 Determinante - definição e propriedades. Relação entre determinante e invertibilidade de uma matriz. Regra de Cramer e aplicações.
1.4 Valores e vetores próprios. Definição. Diagonalização de uma matriz quadrada e aplicações.
Segunda Parte - Análise
2 - Limites e continuidade
2.1 Breves revisões sobre funções reais de variável real: funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas. Função inversa de uma função bijetiva. Funções trigonométricas inversas. Breves noções de topologia em R.
2.2 Limites de funções reais de variável real: definição; limites laterais; álgebra dos limites; teorema das funções enquadradas. Funções contínuas: definição e propriedades. Teorema de Bolzano e Teorema de Weierstrass.
3 - Cálculo Diferencial em R
3.1 Derivada de uma função num ponto: definição, interpretação geométrica e propriedades. Teorema de Rolle e de Lagrange. Regra de Cauchy e aplicações.
3.2 Teorema de Taylor com resto de Lagrange e aplicações.
4 – Cálculo Integral em R
4.1 Noção de primitiva de uma função contínua num intervalo. Cálculo prático de primitivas. Primitivação por partes e por substituição: exemplos envolvendo a primitivação de funções irracionais e transcendentes. Primitivação de funções racionais.
4.2 Integral de Riemann: definição e interpretação geométrica. Integrabilidade das funções seccionalmente contínuas. Teorema do valor médio. Teorema Fundamental do Cálculo e Regra de Barrow. Cálculo prático de integrais definidos: Integração por partes e integração por substituição. Aplicações.