Elementos de Análise e Álgebra II
Objetivos
O estudante deve adquirir conhecimentos básicos sobre séries numéricas e séries de funções, cálculo diferencial e integral para funções de várias variáveis, resolução de equações diferenciais ordinárias e caracterização de grupos, isometrias e simetrias.
Caracterização geral
Código
8789
Créditos
6.0
Professor responsável
Gonçalo Jorge Trigo Neri Tabuada
Horas
Semanais - 5
Totais - 67
Idioma de ensino
Português
Pré-requisitos
O aluno deve possuir conhecimentos elementares de análise, nomeadamente cálculo diferencial e integral em R.
Bibliografia
[1] Sá, A. & Louro, B. – Sucessões e Séries, Escolar Editora, 2009.
[2] Sarrico, C. - Análise Matemática, Gradiva, 1997.
[3] Sarrico, C. - Cálculo Diferencial e Integral para funções de várias variáveis, Esfera do Caos, 2009.
[4] Monteiro, A. & Matos, I. - Álgebra, Escolar Editora, 2001.
Método de ensino
Nesta disciplina há aulas teóricas (3 horas semanais) e aulas práticas (2 horas semanais).
Os alunos têm antecipadamente à sua disposição um guião com os apontamentos teóricos e práticos para as aulas.
Método de avaliação
AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS
A avaliação de conhecimentos é realizada através de dois testes intercalares, cada um com duração de uma hora, ou através de um exame, com duração de duas horas.
Só poderão efetuar qualquer das provas os alunos que, no ato da prova, sejam portadores de Bilhete de Identidade ou Cartão de Cidadão, Cartão de Estudante e caderno de exame (com cabeçalho não preenchido).
MELHORIA DE NOTA
Todos os alunos que pretendam apresentar-se a exame de melhoria de nota devem inscrever-se, para esse efeito, através do CLIP.
Se a classificação do exame de melhoria for superior à classificação obtida anteriormente na disciplina, será considerada como classificação final. Caso contrário, não se verifica melhoria de nota.
Conteúdo
1 Séries
1.1 Breves revisões sobre sucessões numéricas. Sucessões de funções.
1.2 Séries numéricas: definição e propriedades elementares. Critério de convergência para séries geométricas. Critério da raiz de Cauchy e critério de D''''Alembert. Aplicações.
1.3 Séries de potências: definição; noção de raio e de intervalo de convergência. Teoremas de integração e de derivação termo a termo.
1.4 Série de Taylor de uma função regular: condições para a igualdade entre a função e a respetiva série de Taylor.
2 Funções de várias variáveis
2.1 Definição e primeiras propriedades. Representação gráfica de funções de duas variáveis. Curvas de nível. Exemplos.
2.2 Limites de funções de várias variáveis: definição e propriedades elementares. Limites segundo curvas; limites direcionais. Noção de continuidade de uma função num ponto do respetivo domínio.
2.3 Derivadas parciais e diferenciabilidade: vetor gradiente e aplicações.
2.4 Integração de funções de duas variáveis. Teorema de Fubini, sistema de coordenadas polares.
3 Equações diferenciais ordinárias
3.1 Modelação matemática através de equações diferenciais: modelos exponenciais e logísticos. Exemplos de aplicações.
3.2 Equações diferenciais de primeira ordem: equações lineares; equações de variáveis separáveis; equações diferenciais exatas.
3.3 Equações diferenciais de segunda ordem: equações lineares homogéneas. Métodos de resolução de equações lineares não homogéneas: método de variação das constantes e dos coeficientes indeterminados.
4 Grupos
4.1 Definição e primeiros exemplos.
4.2 Grupo das isometrias de R2. Grupos de isometrias que deixam invariantes um subconjunto de R2. Grupos diedrais. Aplicação ao grupo de frisos.